试题

题目：
如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为as，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n≥s）．青果学院
（1）求a8的值；
（2）当n=999时，求
1
as
+
1
a4
+
1
a4
+…+
1
an
的值．
答案
解：（1）n=3时，边数为3×4=12；
n=4时，边数为4×k=20；
…
n=8时，边数为8×9=72；
∴a8=72；
（2）当n=999时，原式=
1
3×4
+
1
4×k
+
1
k×6
+…+
1
999×1000
=
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
k
+…+
1
999
-
1
1000
=
997
3000
．
解：（1）n=3时，边数为3×4=12；
n=4时，边数为4×k=20；
…
n=8时，边数为8×9=72；
∴a8=72；
（2）当n=999时，原式=
1
3×4
+
1
4×k
+
1
k×6
+…+
1
999×1000
=
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
k
+…+
1
999
-
1
1000
=
997
3000
．
考点梳理
规律型：图形的变化类．
（1）观察可得边数与扩展的正n边形的关系为n×（n+1），把n=8代入求解即可；
（2）根据
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
求解即可．
考查图形的规律性及规律性的应用；得到边数与扩展的正n边形的关系是解决本题的突破点；根据
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
求解是解决本题的难点．
规律型．
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