试题

如图，⊙O_l和⊙O₂内切于点P，过点P的直线交⊙O_l于点D，交⊙O₂于点E，DA与⊙O₂相切，切点为C．
（1）求证：PC平分∠APD；
（2）求证：PD·PA=PC²+AC·DC；
（3）若PE=3，PA=6，求PC的长．

解：（1）过P作两圆的公切线PT，
根据弦切角定理得：∠PCD=∠PBC
∠PCB=∠PDC
∴∠DPC=∠APC，
∴PC平分∠APD；

（2）∵AC·DC=PC·CF，
∴PC²+AC·DC=PC²+PC·CF=PC（PC+CF）=PC·PF．
∵△PDC∽△PFA，
∴PC·PF=PD·PA，
∴PD·PA=PC²+AC·DC；

（3）∵△PCA∽△PEC，
∴

PC

PE

=

PA

PC

，
即PC²=PA·PE，
∵PE=3，PA=6，
∴PC=3

2

．
解：（1）过P作两圆的公切线PT，
根据弦切角定理得：∠PCD=∠PBC
∠PCB=∠PDC
∴∠DPC=∠APC，
∴PC平分∠APD；

（2）∵AC·DC=PC·CF，
∴PC²+AC·DC=PC²+PC·CF=PC（PC+CF）=PC·PF．
∵△PDC∽△PFA，
∴PC·PF=PD·PA，
∴PD·PA=PC²+AC·DC；

（3）∵△PCA∽△PEC，
∴

PC

PE

=

PA

PC

，
即PC²=PA·PE，
∵PE=3，PA=6，
∴PC=3

2

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