试题

已知：如图（1），直角坐标系中，直线y=x+3交x轴于A，交y轴于B，在x轴正半轴上取一点C，使△ABC的面积为6．

（1）求∠BAC的度数和点C的坐标；
（2）求△ABC的外心O′的坐标；
（3）如图（2），以O′为圆心O′A为半径作⊙O′，另有点P(-

13

-1，0)，直线PT切⊙O′于T．当点O′在平行于y轴的直线上运动（⊙O′的大小变化）时，PT的长度是否发生变化？若变化，求其变化范围；若不变化，求出PT的长度．

解：（1）由

y=x+3 y=0

，得A（-3，0），
由

y=x+3 x=0

，得B（0，3），
∴OA=OB=3．
∵∠AOB=90°，
∴∠BAC=45°．
∵△ABC的面积为6，
∴

1

2

×AC×OB=6，
∴AC=4，∴OC=AC-OA=1，
∵点C在x轴正半轴上，
∴点C坐标为（1，0）．

（2）由（1）可知：△ABO是等腰直角三角形，
∴线段AB的垂直平分线是直线y=-x，
∵线段AC的垂直平分线是直线x=-1，点O是线段AB、AC垂直平分线的交点，
∴由

y=-x x=-1

，得点O′的坐标为（-1，1）．

（3）PT的长度不会发生变化．
解：由（2）可知点O′在平行于y轴的直线上运动且经过点（-1，1），
即点O′在直线x=-1上运动．
如图，连接PO′，TO′，AO′，设直线x=-1与x轴交点为E．
∵PT切⊙O′于T，
∴∠PTO′=90°，
由勾股定理，得PT²=O′P²-O′T²，
∵O′A=O′T，∴PT²=O′P²-O′A²．
在Rt△AO′E中，∠O′EA=90°，
∴O′A²=O′E²+AE²．
在Rt△PO′E中，∠O′EP=90°，
∴PE²=O′P²-O′E²，
∴PT²=O′P²-O′E²-AE²=PE²-AE²．
∵点E在直线x=-1时，且在x轴上，
∴E（-1，0）．
∴PE=

13

，AE=2，
∴PT=

PE2-AE2

=

( 13 )2-22

=

13-4

=3．
解：（1）由

y=x+3 y=0

，得A（-3，0），
由

y=x+3 x=0

，得B（0，3），
∴OA=OB=3．
∵∠AOB=90°，
∴∠BAC=45°．
∵△ABC的面积为6，
∴

1

2

×AC×OB=6，
∴AC=4，∴OC=AC-OA=1，
∵点C在x轴正半轴上，
∴点C坐标为（1，0）．

（2）由（1）可知：△ABO是等腰直角三角形，
∴线段AB的垂直平分线是直线y=-x，
∵线段AC的垂直平分线是直线x=-1，点O是线段AB、AC垂直平分线的交点，
∴由

y=-x x=-1

，得点O′的坐标为（-1，1）．

（3）PT的长度不会发生变化．
解：由（2）可知点O′在平行于y轴的直线上运动且经过点（-1，1），
即点O′在直线x=-1上运动．
如图，连接PO′，TO′，AO′，设直线x=-1与x轴交点为E．
∵PT切⊙O′于T，
∴∠PTO′=90°，
由勾股定理，得PT²=O′P²-O′T²，
∵O′A=O′T，∴PT²=O′P²-O′A²．
在Rt△AO′E中，∠O′EA=90°，
∴O′A²=O′E²+AE²．
在Rt△PO′E中，∠O′EP=90°，
∴PE²=O′P²-O′E²，
∴PT²=O′P²-O′E²-AE²=PE²-AE²．
∵点E在直线x=-1时，且在x轴上，
∴E（-1，0）．
∴PE=

13

，AE=2，
∴PT=

PE2-AE2

=

( 13 )2-22

=

13-4

=3．