试题

（1998·宁波）正方形ABCD的边AB是⊙O的弦，CF切⊙O于点E，交AD于点F，且切点E在正方形的内部，AE，BE的长是方程x²-3x+m=0两个实根．
（1）当AB是⊙O的直径时（如图），
①用含m的代数式表示AB的长；
②求m的值和AF的长；
（2）当AB不是⊙O的直径时，△ABE能否与以B、C、E为顶点的三角形相似？请说明理由，若相似，求AE+AB的长．

解：（1）①根据题意，有AE，BE的长是方程x²-3x+m=0两个实根，
则AE+BE=3，AE·BE=m；
又有AB是⊙O的直径，可得AB²=AE²+BE²，
化简可得：AB²=（AE+BE）²-2AE·BE=9-2m，
故AB=

9-2m

；
②连接OC、OF，分别交BE、AE于M、N，连接OE；
∵CE、CB都是⊙O的切线，
∴∠ECO=∠BCO，∠OEC=∠OBC=90°，
∴∠EOC=∠BOC，
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM，
又∵O是AB的中点，∴OM是△ABE的中位线，即AE=2OM；
△ABE和△BMC中：
AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，∠CBM=∠EAB（弦切角定理），
∴△AEB≌△BMC，即MC=BE=2BM=4OM；
设OM=x，则AE=BM=2x，BE=MC=4x，
∵AE+BE=3，即2x+4x=3，故x=

1

2

，
∴AE=1，BE=2，m=AE·E=2，AB=

5

；
同理可证得ON是△ABE的中位线，则ON∥BE，∠AOF=∠ABE，
∴tan∠AOF=tan∠ABE=

1

2

，即AF=

1

2

OA=

1

4

AB=

5

4

．

（2）由于CF切⊙O于E，则∠CEB=∠EAB；
∵点E在正方形ABCD的内部，
∴AE、BC不平行，即∠AEB≠∠CBE；
若△ABE能否与以B、C、E为顶点的三角形相似，
则必有∠AEB=∠ECB，此时：

BE

AB

=

BC

BE

，即BE²=AB²，BE=AB；
所以△ABE可以与以B、C、E为顶点的三角形相似，此时BE等于正方形的边长；
那么AE+AB=AE+BE=3．
解：（1）①根据题意，有AE，BE的长是方程x²-3x+m=0两个实根，
则AE+BE=3，AE·BE=m；
又有AB是⊙O的直径，可得AB²=AE²+BE²，
化简可得：AB²=（AE+BE）²-2AE·BE=9-2m，
故AB=

9-2m

；
②连接OC、OF，分别交BE、AE于M、N，连接OE；
∵CE、CB都是⊙O的切线，
∴∠ECO=∠BCO，∠OEC=∠OBC=90°，
∴∠EOC=∠BOC，
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM，
又∵O是AB的中点，∴OM是△ABE的中位线，即AE=2OM；
△ABE和△BMC中：
AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，∠CBM=∠EAB（弦切角定理），
∴△AEB≌△BMC，即MC=BE=2BM=4OM；
设OM=x，则AE=BM=2x，BE=MC=4x，
∵AE+BE=3，即2x+4x=3，故x=

1

2

，
∴AE=1，BE=2，m=AE·E=2，AB=

5

；
同理可证得ON是△ABE的中位线，则ON∥BE，∠AOF=∠ABE，
∴tan∠AOF=tan∠ABE=

1

2

，即AF=

1

2

OA=

1

4

AB=

5

4

．

（2）由于CF切⊙O于E，则∠CEB=∠EAB；
∵点E在正方形ABCD的内部，
∴AE、BC不平行，即∠AEB≠∠CBE；
若△ABE能否与以B、C、E为顶点的三角形相似，
则必有∠AEB=∠ECB，此时：

BE

AB

=

BC

BE

，即BE²=AB²，BE=AB；
所以△ABE可以与以B、C、E为顶点的三角形相似，此时BE等于正方形的边长；
那么AE+AB=AE+BE=3．