试题

题目：
青果学院（2001·河南）如图，△ABC，∠A的平分线交BC于D，圆O过点A且与BC相切于D，AB、AC与分别相交于E，F，AD与EF相交于G，求证：AF·FC=GF·DC．
答案
青果学院证明：连接DF，
∵AD是△ABC的角平分线，BC是⊙O的切线，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF．
∴
AF
DC
=
GF
FC
，即AF·FC=GF·DC．
青果学院证明：连接DF，
∵AD是△ABC的角平分线，BC是⊙O的切线，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF．
∴
AF
DC
=
GF
FC
，即AF·FC=GF·DC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；弦切角定理．
根据要证明的线段之间的关系，显然可以构造到三角形AFG和三角形DCF中，根据弦切角定理以及圆周角定理的推论发现∠FDC=∠EFD，则EF∥BC，得到∠AFE=∠C，根据两个角对应相等得到两个三角形相似，从而证明结论．
此类题一般首先能够把线段放到两个三角形中，熟练运用相似三角形的判定和性质．
证明题．
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