试题

（2002·泉州）如图，已知⊙O的直径BD=6，AE与⊙O相切于E点，过B点作BC⊥AE，垂足为C，连接BE、
DE．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若BC=4.5，求图中阴影部分的面积（结果可保留π与根号）．

（1）证明：如图，∵AE与⊙O相切于E，
∴∠BEC=∠BDE，
∵∠DEB=90°，
∴∠EBD=90°-∠EDB，
∵BC⊥AE，
∴∠CBE=90°-∠BEC，
∴∠EBC=∠DBE，即∠1=∠2；

（2）解：由（1）可得：∠1=∠2，∠CEB=∠EDB，
∴△EDB∽△CEB，
∴

EB

BC

=

BD

BE

，即BE²=CB·DB．
∵DB=6，BC=4.5，
∴BE=3

3

，
∵cos∠2=

BE

BD

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠2=30°，
连接EO，则∠EOD=60°．
∴△DOE是等边三角形，即DE=DO=3．
过O作OF⊥DE于F，则有OF=

3 3

2

．
∴S_阴影=S_扇形EOD-S_△EOD=

60

360

π·3²-

1

2

×3×

3 3

2

=

3π

2

-

9 3

4

．
（1）证明：如图，∵AE与⊙O相切于E，
∴∠BEC=∠BDE，
∵∠DEB=90°，
∴∠EBD=90°-∠EDB，
∵BC⊥AE，
∴∠CBE=90°-∠BEC，
∴∠EBC=∠DBE，即∠1=∠2；

（2）解：由（1）可得：∠1=∠2，∠CEB=∠EDB，
∴△EDB∽△CEB，
∴

EB

BC

=

BD

BE

，即BE²=CB·DB．
∵DB=6，BC=4.5，
∴BE=3

3

，
∵cos∠2=

BE

BD

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠2=30°，
连接EO，则∠EOD=60°．
∴△DOE是等边三角形，即DE=DO=3．
过O作OF⊥DE于F，则有OF=

3 3

2

．
∴S_阴影=S_扇形EOD-S_△EOD=

60

360

π·3²-

1

2

×3×

3 3

2

=

3π

2

-

9 3

4

．