试题

（2004·黄冈）如图1，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD²=AE·AF成立（不要求证明）．
（1）若将弦CD向下平移至与O相切B点时，如图2，则AEAF是否等于AG²？如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积并给出证明；
（2）当CD继续向下平移至与O相离时，如图3，在（1）中探求的结论是否还成立？并说明理由．

解：（1）∵AE，AF不等于AG²
∴AE·AF=AG·AH
连接BG，EG
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线
∴∠ABF=∠AGB=90°
∴∠BAF+∠BFA=90°
∴∠AGE+∠BGE=90°
∴∠BAF+∠BFA=∠AGE+∠BGE
∵∠BAF=∠BGE
∴∠AFH=∠AGE
又∵∠FAH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

，即AE·AF=AG·AH；

（2）（1）中探求的结论还成立．
证明：连接EG，BG
∵AB是⊙O的直径，AM⊥CD
∴∠AMF=∠AGB=90°
∴∠AFM+∠FAM=∠AGE+∠BGE=90°
∵∠FAM=∠BGE
∴∠AFM=∠AGE
又∵∠AFH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

∴AE·AF=AG·AH．
解：（1）∵AE，AF不等于AG²
∴AE·AF=AG·AH
连接BG，EG
∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线
∴∠ABF=∠AGB=90°
∴∠BAF+∠BFA=90°
∴∠AGE+∠BGE=90°
∴∠BAF+∠BFA=∠AGE+∠BGE
∵∠BAF=∠BGE
∴∠AFH=∠AGE
又∵∠FAH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

，即AE·AF=AG·AH；

（2）（1）中探求的结论还成立．
证明：连接EG，BG
∵AB是⊙O的直径，AM⊥CD
∴∠AMF=∠AGB=90°
∴∠AFM+∠FAM=∠AGE+∠BGE=90°
∵∠FAM=∠BGE
∴∠AFM=∠AGE
又∵∠AFH=∠GAE
∴△FAH∽△GAE
∴

AF

AG

=

AH

AE

∴AE·AF=AG·AH．