试题

（2004·宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．

（Ⅰ）证法一：
连接OQ；
∵RQ是⊙O的切线，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．
证法二：
作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，
∴∠B+∠C=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°．
∴∠C=∠BPO．
又∠BPO=∠RPQ，
∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ为⊙O的切线，
∴∠PQR=∠C．
∴∠PQR=∠RPQ．
∴RP=RQ．

（Ⅱ）解法一：
作直径AC，
∵OP=PA=1，
∴PC=3．
由勾股定理，得BP=

12+22

=

5

由相交弦定理，得PQ·PB=PA·PC．
即PQ×

5

=1×3，
∴PQ=

3 5

5

．
解法二：
作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，
设RQ=RP=x；
由切割线定理，得：x²=（x-1），（x+3）
解得：x=

3

2

，
又由△BPO∽△RPF得：

PF

OP

=

PR

BP

，
∴PF=

3 2

5

×1=

3 5

10

，
由等腰三角形性质得：PQ=2PF=

3 5

5

．
（Ⅰ）证法一：
连接OQ；
∵RQ是⊙O的切线，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．
证法二：
作直径BC，连接CQ；∵BC是⊙O的直径，
∴∠B+∠C=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠B+∠BPO=90°．
∴∠C=∠BPO．
又∠BPO=∠RPQ，
∴∠C=∠RPQ．
又∵RQ为⊙O的切线，
∴∠PQR=∠C．
∴∠PQR=∠RPQ．
∴RP=RQ．

（Ⅱ）解法一：
作直径AC，
∵OP=PA=1，
∴PC=3．
由勾股定理，得BP=

12+22

=

5

由相交弦定理，得PQ·PB=PA·PC．
即PQ×

5

=1×3，
∴PQ=

3 5

5

．
解法二：
作直径AE，过R作RF⊥BQ，垂足为F，
设RQ=RP=x；
由切割线定理，得：x²=（x-1），（x+3）
解得：x=

3

2

，
又由△BPO∽△RPF得：

PF

OP

=

PR

BP

，
∴PF=

3 2

5

×1=

3 5

10

，
由等腰三角形性质得：PQ=2PF=

3 5

5

．