试题

（2005·日照）如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点P，且⊙O₁过点O₂，PB是⊙O₂的直径，A为⊙O₂上的点，连接AB，过O₁作O₁C⊥BA于C，连接CO₂．已知PA=

4

3

，PB=4．
（1）求证：BA是⊙O₁的切线；
（2）求∠BCO₂的正切值．

（1）证明：∵PB是⊙O₂的直径，A为⊙O₂上的点，
∴∠PAB=90°．
又∵O₁C⊥BA，
∴△PAB∽△O₁CB．
∵PA=

4

3

，PB=4，
∴0₁C=1．
∴O₁C是⊙O₁的半径，
∵O₁C⊥BA于C，
∴BA是⊙O₁的切线．

（2）解：BC=

01B2-01C2

=

8

，
连接PC；
∵∠B=∠B，∠BCO₂=∠BPC，
∴△BPC∽△BCO₂，
∴O₂C：CP=BO₂：BC=2：

8

=tanBPC=tanBCO₂，
（在Rt△PCO₂中，tanBPC=O₂C：CP）
∴tanBCO₂=

2

2

．
（1）证明：∵PB是⊙O₂的直径，A为⊙O₂上的点，
∴∠PAB=90°．
又∵O₁C⊥BA，
∴△PAB∽△O₁CB．
∵PA=

4

3

，PB=4，
∴0₁C=1．
∴O₁C是⊙O₁的半径，
∵O₁C⊥BA于C，
∴BA是⊙O₁的切线．

（2）解：BC=

01B2-01C2

=

8

，
连接PC；
∵∠B=∠B，∠BCO₂=∠BPC，
∴△BPC∽△BCO₂，
∴O₂C：CP=BO₂：BC=2：

8

=tanBPC=tanBCO₂，
（在Rt△PCO₂中，tanBPC=O₂C：CP）
∴tanBCO₂=

2

2

．