试题

（2011·花都区一模）如图，已知抛物线y=a(x-1)2-

25

3

与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D（5，-3），顶点为M．
（1）写出M点的坐标，并指出函数y有最大值还是最小值？这个值是多少？
（2）求a的值；
（3）以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．

解：（1）∵抛物线y=a(x-1)2-

25

3

，
∴顶点为M（1，-

25

3

），
函数y有最小值是-

25

3

；

（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

25

3

得：a=

1

3

；

（3）结论：点D在⊙P上，
∵y=

1

3

(x-1)2-

25

3

令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
∵AB为⊙P的直径，
∴P（1，0），
∴⊙P的半径r=5，
过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，则E（5，0）
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD=

PE2+DE2

=5，
∴PD与⊙P的半径相等，
∴点D在⊙P上．
解：（1）∵抛物线y=a(x-1)2-

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3

，
∴顶点为M（1，-

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），
函数y有最小值是-

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3

；

（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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得：a=

1

3

；

（3）结论：点D在⊙P上，
∵y=

1

3

(x-1)2-

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令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
∵AB为⊙P的直径，
∴P（1，0），
∴⊙P的半径r=5，
过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，则E（5，0）
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD=

PE2+DE2

=5，
∴PD与⊙P的半径相等，
∴点D在⊙P上．