试题

题目：
青果学院（2013·滨湖区一模）如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且AC=6，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在直线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为
3或
2
3
或9或
34
3
3或
2
3
或9或
34
3
．
答案
3或
2
3
或9或
34
3

青果学院解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=
102-62
=8，
∵点D为BC的中点，
∴CD=4，
当DE∥AB时，
△CED∽△CAB，
∴
CE
AC
=
CD
BC
，
∴
EC
6
=
4
8
，
解得：EC=3，
∴AE=6-EC=3，
当
CD
AC
=
CE′
CB
，且∠ACB=∠DCE′时，△CE′D∽△CBA，
则
4
6
=
CE′
8
，
解得：CE′=
16
3
，
∴AE′=6-
16
3
=
2
3
；
当
CD
AC
=
CE1
BC
，且∠ACB=∠DCE1时，△CE1D∽△CBA，
则
4
6
=
CE1
8
，
解得：CE1=
16
3
，
∴AE1=6+
16
3
=
34
3
；
当
CD
BC
=
E″C
AC
，且∠ACB=∠DCE″时，△CE″D∽△CBA，
则
4
8
=
E″C
6
，
解得：CE″=3，
∴AE″=6+3=9；
综上所述：点E在直线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为3或
2
3
或9或
34
3
．
故答案为：3或
2
3
或9或
34
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
根据E点在直线AC上，得出对应点不同求出的EC长度不同，分别得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，注意在直线AC上有一点E，进行分类讨论得出是解题关键．
分类讨论．
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