试题

题目：
青果学院如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥AB，AD=3，BC=4，E点在AB上，且AE=2，∠CED=90°．
求CD的长．
答案
青果学院解：如图，在△AED和△BCE中，
∵AD∥BC，BC⊥AB，
∴AD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，（1分）
∵∠CED=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，（1分）
∴△AED∽△BCE，（3分）
∴
AD
BE
=
AE
BC

∴
3
BE
=
2
4
，
即BE=6，
过D作DF⊥BC，交BC于F，则DF∥AB，（6分）
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF=AB=2+6=8，FC=BC-BF=BC-AD=4-3=1，
∴CD2=DF2+FC2=82+1=65，
∴CD=
65
．（8分）
青果学院解：如图，在△AED和△BCE中，
∵AD∥BC，BC⊥AB，
∴AD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，（1分）
∵∠CED=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，（1分）
∴△AED∽△BCE，（3分）
∴
AD
BE
=
AE
BC

∴
3
BE
=
2
4
，
即BE=6，
过D作DF⊥BC，交BC于F，则DF∥AB，（6分）
∴四边形ABFD为矩形，
∴DF=AB=2+6=8，FC=BC-BF=BC-AD=4-3=1，
∴CD2=DF2+FC2=82+1=65，
∴CD=
65
．（8分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；梯形．
首先根据有两角对应相等的三角形相似，证得△AED∽△BCE，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，在过D作DF⊥BC，交BC于F，则DF∥AB，即可得四边形ABFD为矩形，根据矩形的性质与勾股定理，即可求得CD的长．
此题考查了梯形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及勾股定理的应用等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
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