试题

如图，四边形ABCD是矩形，AP平分∠BAD，CD=CP，AP⊥CP．
（1）求证：AD=AP；
（2）若AB=5，AD=12，求△PBD的面积．

（1）证明：∵CD=CP，
∴∠CDP=∠CPD，
∵四边形ABCD是矩形，AP⊥CP，
∴∠ADC=∠APC=90°，
∴∠CDP+∠ADP=∠APD+∠CPD，
∴∠APD=∠ADP，
∴AD=AP；

（2）解：连接BD，过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠E=90°，PE∥AD，
∴四边形ADPE是梯形，
∵AP平分∠BAD，
∴∠EAP=

1

2

∠BAD=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∵AD=12，
∴AP=12，
∴AE=PE=6

2

，
∴BE=AE-AB=6

2

-5，
∴S_△PBD=S_梯形ADPE-S_△ABD-S_△PBE=

1

2

×（6

2

+12）×6

2

-

1

2

×5×12-

1

2

×（6

2

-5）×6

2

=51

2

-30．
（1）证明：∵CD=CP，
∴∠CDP=∠CPD，
∵四边形ABCD是矩形，AP⊥CP，
∴∠ADC=∠APC=90°，
∴∠CDP+∠ADP=∠APD+∠CPD，
∴∠APD=∠ADP，
∴AD=AP；

（2）解：连接BD，过点P作PE∥BC交AB的延长线于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠E=90°，PE∥AD，
∴四边形ADPE是梯形，
∵AP平分∠BAD，
∴∠EAP=

1

2

∠BAD=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∵AD=12，
∴AP=12，
∴AE=PE=6

2

，
∴BE=AE-AB=6

2

-5，
∴S_△PBD=S_梯形ADPE-S_△ABD-S_△PBE=

1

2

×（6

2

+12）×6

2

-

1

2

×5×12-

1

2

×（6

2

-5）×6

2

=51

2

-30．