试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由；
（2）求∠1+∠2的度数．
答案
解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC=
a2+a2
=
2
a，
∵
AC
CF
=
2
a
a
=
2
，
CG
AC
=
2a
2
a
=
2
，
∴
AC
CF
=
CG
AC
，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；

（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC=
a2+a2
=
2
a，
∵
AC
CF
=
2
a
a
=
2
，
CG
AC
=
2a
2
a
=
2
，
∴
AC
CF
=
CG
AC
，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；

（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的外角性质；勾股定理；正方形的性质．
（1）设正方形的边长为a，求出AC的长为
2
a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似；
（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．
本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．
几何综合题；数形结合．
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