试题

如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连接AC，DB．设CP=x，PD=y．
（1）求证：△ACP∽△DBP．
（2）写出y关于x的函数解析式．
（3）若CD=8时，求S_△ACP：S_△DBP的值．

证明：（1）∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP；（3分）

（2）由（1）可得：CP·PD=AP·PB，即xy=12；
∴y=

12

x

（3分）

（3）由题意得

xy=12 x+y=8

；（2分）
由②得y=8-x，代入①得x（8-x）=12
得x₁=2，x₂=6（2分）
∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2（2分）
S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=2²：3²=4：9或S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=6²：3²=4：1．（2分）
证明：（1）∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP；（3分）

（2）由（1）可得：CP·PD=AP·PB，即xy=12；
∴y=

12

x

（3分）

（3）由题意得

xy=12 x+y=8

；（2分）
由②得y=8-x，代入①得x（8-x）=12
得x₁=2，x₂=6（2分）
∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2（2分）
S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=2²：3²=4：9或S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=6²：3²=4：1．（2分）