试题

题目：
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，过O点作EF∥A青果学院D分别交AB，CD于点E，F．
（1）下面是小明对“△AOB与△DOC是否相似”的解答：
解：△AOB∽△DOC理由如下：
∵AD∥BC（　　）
∴△AOD∽△COB
∴
OA
OC
=
OD
OB
（　　）
又∵∠AOB=∠DOC（　　）
∴△AOB∽△DOC（　　）
你认为小明的每一步解答过程是否正确？若正确，请在括号内填上理由；若不正确，请在该步骤后面的括号内打“×”．
（2）OE与OF有何关系？为什么？
（3）试求出
OE
AD
+
OF
BC
的值．
答案
解：（1）（已知）；（相似三角形的对应边成比例）；（对顶角相等）；（×）

（2）OE=OF理由如下：
∵AD∥BC，
∴
OA
OC
=
OD
OB
．
∴
AC
OC
=
BD
OB
．
又∵EF∥AD，
∴
AD
OF
=
AC
OC
AD
OE
=
BD
OB
．
∴
AD
OF
=
AD
OE
．
∴OF=OE．

（3）∵EF∥AD∥BC，
∴
OE
AD
=
OB
BD
OF
BC
=
OD
BD
．
∴
OE
AD
+
OF
BC
=
OB
BD
+
OD
BD
=1．
解：（1）（已知）；（相似三角形的对应边成比例）；（对顶角相等）；（×）

（2）OE=OF理由如下：
∵AD∥BC，
∴
OA
OC
=
OD
OB
．
∴
AC
OC
=
BD
OB
．
又∵EF∥AD，
∴
AD
OF
=
AC
OC
AD
OE
=
BD
OB
．
∴
AD
OF
=
AD
OE
．
∴OF=OE．

（3）∵EF∥AD∥BC，
∴
OE
AD
=
OB
BD
OF
BC
=
OD
BD
．
∴
OE
AD
+
OF
BC
=
OB
BD
+
OD
BD
=1．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
（1）△AOB∽△DOC．理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴△AOD∽△COB．
∴
OA
OC
=
OD
OB
（相似三角形的对应边成比例）．
又∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），
∴△AOB∽△DOC（×）不能得到△AOB∽△DOC，
是∵
OA
OC
，
OD
OB
不是△AOB与△DOC的对应边的比．
（2）由于有
AC
OC
=
BD
OB
，
AD
OF
=
AD
OE
分别成立，故OF=OE成立
（3）由于
OE
AD
=
OB
BD
，
OF
BC
=
OD
BD
成立，再式相加，即得出
OE
AD
+
OF
BC
=1
本题利用了平行线的性质：平行线分对应线段成比例，相似三角形的性质求解．
阅读型．
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