试题

题目：
青果学院如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6
3
，AE=6，求AF的长．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵CD=AB=8，AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，DE=
(6
3
) 2+6 2
=12，
∵△ADF∽△DEC，
∴
AD
DE
=
AF
CD
；
∴
6
3
12
=
AF
8

∴AF=4
3
．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵CD=AB=8，AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，DE=
(6
3
) 2+6 2
=12，
∵△ADF∽△DEC，
∴
AD
DE
=
AF
CD
；
∴
6
3
12
=
AF
8

∴AF=4
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
此题主要考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质．
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