试题

Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，过C作CP⊥AB，垂足为P，一直角顶点与P重合，两边分别交AC，BC于F，E．
（1）PF，PE有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若图中“AC=BC”改为“AC≠BC”，其他条件不变，则PF、PE的数量关系怎样？与AC，BC两边的长有何关系？为什么？若AC：BC=2：1，则PF、PE的数量关系怎样？

解：（1）PF=PE．
证明：直角三角形ABC中，CP⊥AB，
因此∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°，
∴∠ACP=∠B．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
三角形PCF和PBE中

∠ACP=∠B PC=PC ∠CPF=∠BPE

，
∴△PCF≌△PBE．
∴PF=PE．

（2）直角三角形ABC中，CP⊥AB，
∴∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°．
∴∠ACP=∠B．
∵∠APC=∠BPC=90°，
∴△PCA∽△PBC．
∴AC：BC=PC：PB．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
∵∠ACP=∠B，
∴△PCF∽△PBE．
∴PC：PB=PF：PE．
∴PF：PE=AC：AB．
当AC：BC=2：1时，PF=2PE．
解：（1）PF=PE．
证明：直角三角形ABC中，CP⊥AB，
因此∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°，
∴∠ACP=∠B．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
三角形PCF和PBE中

∠ACP=∠B PC=PC ∠CPF=∠BPE

，
∴△PCF≌△PBE．
∴PF=PE．

（2）直角三角形ABC中，CP⊥AB，
∴∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°．
∴∠ACP=∠B．
∵∠APC=∠BPC=90°，
∴△PCA∽△PBC．
∴AC：BC=PC：PB．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
∵∠ACP=∠B，
∴△PCF∽△PBE．
∴PC：PB=PF：PE．
∴PF：PE=AC：AB．
当AC：BC=2：1时，PF=2PE．