试题

题目：
青果学院（2004·重庆）如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为
a2
2n
a2
2n
．
答案
a2
2n

青果学院解：连接AC，BD．
∵四边形A1B1C1D1是顺次连接各中点得到的，
∴
BA1
BA
=
BB1
BC
=
A1B1
AC
=
1
2
，
故△BB1AI∽△BCA，相似比为
1
2
，面积比为
1
4
，即S△BB1AI=
1
4
S△BCA，
同理可得S△DD1C1=
1
4
S△DAC，即S△BB1AI+S△DD1C1=
1
4
（S△DAC+S△BCA）=
1
4
S四边形ABCD，
同理可得S△CC1B1+S△AA1D1=
1
4
S四边形ABCD，故
S△BB1AI+S△DD1C1+S△CC1B1+S△AA1D1=
1
2
S四边形ABCD，
则S四边形A1B1C1D1=
1
2
S四边形ABCD=
a2
2
，
同理可得第二个小四边形的面积为
1
2
×
a2
2
即
a2
22
．
第三个面积为
a2
23
，以此类推第n个四边形的面积为
a2
2n
．
考点梳理
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
连接对角线，运用三角形中位线定理探索规律求解．
此题属规律性题目，解答此题的关键是求出四边形A1B1C1D1的面积，再依此类推求出第二，第三个四边形的面积，找出规律，即可求得第n个四边形的面积．
规律型．
找相似题