试题

题目：
已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交于边BC所在的直线于点H、G．
如图1，如果E、F在边AB上，可得结论：EG+FH=AC．
理由是：因为FH∥EG∥AC，所以△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴
BF
AB
=
FH
AC
①，
BE
AB
=
EG
AC
②，①+②得
BF+BE
AB
=
FH+EG
AC

又由已知AE=BF，所以BF+BE=AB，∴
FH+EG
AC
=1，即EG+FH=AC
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（1）如图2，如果点E在AB边上，点F在AB的延长线，那么线段EG、FH、AC的长度有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（2）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明．
答案
（1）线段EG、FH、AC的长度的数量关系是EG+FH=AC，
证明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴
BF
AB
=
FH
AC
①，
BE
AB
=
EG
AC
②，
∴①+②得：
BF+BE
AB
=
FH+EG
AC

又∵AE=BF，
∴BF+BE=AB，
∴
FH+EG
AC
=1，
即EG+FH=AC

（2）线段EG、FH、AC的数量关系是EG-FH=AC，
证明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴
BF
AB
=
FH
AC
①，
BE
AB
=
EG
AC
②，
∴②-①得：
BE-BF
AB
=
EG-FH
AC
，
又∵AE=BF，
∴BE-BF=AB，
∴
EG-FH
AC
=1，
∴EG-FH=AC．
（1）线段EG、FH、AC的长度的数量关系是EG+FH=AC，
证明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴
BF
AB
=
FH
AC
①，
BE
AB
=
EG
AC
②，
∴①+②得：
BF+BE
AB
=
FH+EG
AC

又∵AE=BF，
∴BF+BE=AB，
∴
FH+EG
AC
=1，
即EG+FH=AC

（2）线段EG、FH、AC的数量关系是EG-FH=AC，
证明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴
BF
AB
=
FH
AC
①，
BE
AB
=
EG
AC
②，
∴②-①得：
BE-BF
AB
=
EG-FH
AC
，
又∵AE=BF，
∴BE-BF=AB，
∴
EG-FH
AC
=1，
∴EG-FH=AC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）根据相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式
BF
AB
=
FH
AC
①，
BE
AB
=
EG
AC
②，①+②得出
BF+BE
AB
=
FH+EG
AC
，把AE=BF代入即可求出答案；
（2）根据相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式
BF
AB
=
FH
AC
①，
BE
AB
=
EG
AC
②，②-①得出
BE-BF
AB
=
EG-FH
AC
，把AE=BF代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．
探究型．
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