试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，点D是BC上一点，以DA为一边，点D为顶点作∠ADE=∠C，DE交线段AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当AE=ED时，求BD的长．
答案
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴
AB
CD
=
AD
DE
，
即
5
CD
=
AD
DE
，
∵AE=ED，
∴∠ADE=∠DAE，
∵∠ADE=∠C，
∴∠ADE=∠DAE=∠B=∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴
AB
DE
=
BC
AD
，
即
5
DE
=
6
AD
，
∴
AD
DE
=
6
5
，
∴
5
CD
=
6
5
，
解得CD=
25
6
，
BD=BC-CD=6-
25
6
=
11
6
．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴
AB
CD
=
AD
DE
，
即
5
CD
=
AD
DE
，
∵AE=ED，
∴∠ADE=∠DAE，
∵∠ADE=∠C，
∴∠ADE=∠DAE=∠B=∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴
AB
DE
=
BC
AD
，
即
5
DE
=
6
AD
，
∴
AD
DE
=
6
5
，
∴
5
CD
=
6
5
，
解得CD=
25
6
，
BD=BC-CD=6-
25
6
=
11
6
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，然后求出∠BAD=∠CDE，再利用两组角对应相等的三角形相似证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例可得
AB
CD
=
AD
DE
，再求出△ABC和△EAD相似，利用相似三角形对应边成比例可得
AB
DE
=
BC
AD
，然后代入数据整理即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，主要利用了两角对应相等，两三角形相似，以及相似三角形对应边成比例的性质，（2）两次利用三角形相似表示出
AD
DE
，然后列出方程求出CD的长是解题的关键．
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