如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2B2C2，作出了第二个正三角形△A2B2C2，算出第2个-青果题库-青果学院

题目：

（2011·黔西南州）如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积，然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂B₂C₂，作出了第二个正三角形△A₂B₂C₂，算出第2个正△A₂B₂C₂的面积，用同样的方法作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出第3个正△A₃B₃C₃的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A_nB_nC_n的面积是

3

4n

3

4n

．

答案

3

4n

解：过A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，青果学院

∵等边三角形A₁B₁C₁，
∴B₁D=

1

2

，
由勾股定理得：A₁D=

3

2

，
∴△A₁B₁C₁的面积是

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∵C₂、B₂、A₂分别是A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁的中点，
∴B₂C₂=

1

2

B₁C₁，A₂B₂=

1

2

A₁B₁，A₂C₂=

1

2

A₁C₁，
即

B2C2

B1C1

=

A2B2

A1B1

=

A2C2

A1C1

=

1

2

，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，且面积比是1：4，S△A2B2C2=

1

4

S△A1B1C1
同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，且面积比是1：4，S△A3B3C3 =

1

16

S△A1B1C1
…
∴S△AnBnCn =

1

4n-1

S△A1B1C1=

1

4n-1

×

3

4

=

3

4n

故答案为：

3

4n

．

考点梳理

三角形中位线定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

试题