试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，BD平分∠ABC．
（1）图中有
3
3
个等腰三角形；
（2）求BC的长（用含a的代数式表示）．
答案
3

解：（1）如图，∵△ABC中，AB=AC=a，∠A=36°，
∴∠ABC=
1
2
（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．
∴AD=BD，BD=BC，
∴图中的等腰三角形是：△ABC，△ABD，△BCD．共有3个．

（2）设BC=x．依题意得AD=BD=BC=x，CD=a-x．
显然△BCD∽△ABC，
∴
BC
AB
=
CD
BC
，
∴
x
a
=
a-x
x
，即x2+ax-a2=0
解得x1=
5
-1
2
a，x1=
-
5
-1
2
a（舍去），故BC=
5
-1
2
a．
故答案是：3．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
（1）利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠ABC=∠C=72°；然后由角平分线的性质求得∠ABD=∠DBC=36°，则∠A=∠ABD，∠CDB=∠A+∠ABD=72°=∠C．所以根据等腰三角形的判定进行解题；
（2）设BC=x．依题意得AD=BD=BC=x，CD=a-x．通过相似三角形△BCD∽△ABC的对应边成比例得到
BC
AB
=
CD
BC
，把相关线段的长度代入即可求得x的值，即BC的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．注意“三角形的内角和等于180°”是隐含在题干中的已知条件．
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