试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD=
1
3
AB，AE=
1
2
EC．求证：
（1）△DEF∽△CBF；  
（2）DF·BF=EF·CF．
答案
证明（1）∵AD=
1
3
AB，AE=
1
2
EC，
∴
AD
AB
=
1
3
，
AE
AC
=
1
3
，
∴
AD
AB
=
AE
AC
，
∵∠A=∠A，
∴△DEF∽△CBF；
（2）∵△DEF∽△CBF，
∴
DF
CF
=
EF
BF
，
∴DF·BF=EF·CF．
证明（1）∵AD=
1
3
AB，AE=
1
2
EC，
∴
AD
AB
=
1
3
，
AE
AC
=
1
3
，
∴
AD
AB
=
AE
AC
，
∵∠A=∠A，
∴△DEF∽△CBF；
（2）∵△DEF∽△CBF，
∴
DF
CF
=
EF
BF
，
∴DF·BF=EF·CF．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由两对边的比值和其夹角对应相等的两个三角形相似即可证明△DEF∽△CBF； 
（2）由（1）可知△DEF∽△CBF，根据相似三角形的性质即可证明DF·BF=EF·CF．
本题考查了相似三角形的判定和性质：对应边比值相等的性质，本题中求证△DEF∽△CBF是解题的关键．
证明题．
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