试题

题目：
青果学院如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点G，交AC于H，交BC的延长线于点F．
求证：FD2=FB·FC．
答案
青果学院证明：连接AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分线，
∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），
∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，
∴∠BAF=∠ACF，
又∵∠BFA=∠AFB，
∴△BAF∽△ACF，
∴
AF
BF
=
CF
AF
，
∴AF2=BF·CF，
∴DF2=BF·CF．
青果学院证明：连接AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分线，
∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），
∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，
∴∠BAF=∠ACF，
又∵∠BFA=∠AFB，
∴△BAF∽△ACF，
∴
AF
BF
=
CF
AF
，
∴AF2=BF·CF，
∴DF2=BF·CF．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
由FE是AD的垂直平分线得到FA=FD，再根据等边对等角得到∠FAD=∠FDA，而∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，其中由AD是∠BAC的平分线可以得到∠1=∠2，可得∠BAF=∠ACF，再加上公共角∠BFA=∠AFB，可得△BAF∽△ACF，再根据相似三角形的性质可得结论．
此题利用了角平分线的性质、线段的垂直平分线性质、相似三角形的判定与性质，关键是证明△BAF∽△ACF．
证明题．
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