试题

在梯形ABCD中，AB∥CD，F为BC中点，且AF⊥AD，E在CD上，满足AF=EF．
（1）求证：

1

2

∠AFE+∠D=90°；
（2）连结AE，若AD=5，AF=6，求AE的长．

（1）证明：过F作FN⊥AE于N，交AD于M，
∵AF=EF，
∴∠AFM=∠EFM=

1

2

∠AFE，AN=EN，
∵F为BC中点，AB∥DC，
∴FM∥AB∥CD，
∴AM=DM，∠ANM=∠AED=90°，
∵FM⊥AE，AF⊥AD，
∴∠MAF=∠ANF=90°，
∴∠AFM+∠NAF=90°，∠DAE+∠NAF=90°，
∴∠AFM=∠DAE=

1

2

∠AFE，
∵∠∠AED=90°，
∴∠D+∠DAE=90°，
即

1

2

∠AFE+∠D=90°．

（2）解：∵AM=DM，AD=5，
∴AM=2.5，
在Rt△MAF中，由勾股定理得：MF=

AM2+AF2

=

2．52+62

=

13

2

，
由三角形面积公式得：S_△MAF=

1

2

×AM×AF=

1

2

×FM×AN，
∴2.5×6=

13

2

AN，
∴AN=

30

13

，
∴AE=2AN=

60

13

．

（1）证明：过F作FN⊥AE于N，交AD于M，
∵AF=EF，
∴∠AFM=∠EFM=

1

2

∠AFE，AN=EN，
∵F为BC中点，AB∥DC，
∴FM∥AB∥CD，
∴AM=DM，∠ANM=∠AED=90°，
∵FM⊥AE，AF⊥AD，
∴∠MAF=∠ANF=90°，
∴∠AFM+∠NAF=90°，∠DAE+∠NAF=90°，
∴∠AFM=∠DAE=

1

2

∠AFE，
∵∠∠AED=90°，
∴∠D+∠DAE=90°，
即

1

2

∠AFE+∠D=90°．

（2）解：∵AM=DM，AD=5，
∴AM=2.5，
在Rt△MAF中，由勾股定理得：MF=

AM2+AF2

=

2．52+62

=

13

2

，
由三角形面积公式得：S_△MAF=

1

2

×AM×AF=

1

2

×FM×AN，
∴2.5×6=

13

2

AN，
∴AN=

30

13

，
∴AE=2AN=

60

13

．