试题

如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若△BEF也与△ABF相似，请求出∠BEC的度数．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°
∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°
又∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠2，
∴△ABE∽△DFE；

（2）解：∵由（1）知，∠1+∠3=90°，
∴当△BE也与△ABF相似，分两种情况：△ABF∽△FBE；△ABF∽△FEB．
①当△ABF∽△FBE时，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴∠BEC=90°-30°=60°；
②当△ABF∽△FEB时，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，
∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述，∠BEC的度数是60°．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°．
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°
∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°
又∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠2，
∴△ABE∽△DFE；

（2）解：∵由（1）知，∠1+∠3=90°，
∴当△BE也与△ABF相似，分两种情况：△ABF∽△FBE；△ABF∽△FEB．
①当△ABF∽△FBE时，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴∠BEC=90°-30°=60°；
②当△ABF∽△FEB时，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，
∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述，∠BEC的度数是60°．