试题

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP·CQ的值为．将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则AP·CQ的值是否会改变？
答：．（填“会”或“不会”）此时AP·CQ的值为．（不必说明理由）
（2）在（1）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用）
（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由．

解：（1）8，不会，8；
∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜边中点为O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．
∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴

AP

AD

=

CD

CQ

，
∴AP·CQ=AD·CD=AD²=（

1

2

AC）²=8．

（2）当0°＜α≤45°时，如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵O是斜边的中点，
∴DM=DN=2，
∵CQ=x，则AP=

8

x

，
∴S_△APD=

1

2

·

8

x

·2=

8

x

，S_△DQC=

1

2

x×2=x，
∴y=8-

8

x

-x（2≤x＜4），
当45°＜α＜90°时，如图3，过点D作DG⊥BC于G，DG=2
∵CQ=x，
∴AP=

8

x

，
∴BP=

8

x

-4
∵

BP

DG

=

BM

MG

，
即

8 x -4

2

=

2-MG

MG

，MG=

2x

4-x

…（6分）
∴MQ=

2x

4-x

+（2-x）=

x2-4x+8

4-x

∴y=

x2-4x+8

4-x

（0＜x＜2）；

（3）在图（2）的情况下，
∵PQ∥AC时，BP=BQ，
∴AP=QC
∴x=

8

x

，解得x=2

2

，
∴当x=2

2

时，y=8-

8

2 2

-2

2

=8-4

2

．