试题

已知矩形ABCD中，AB=2，BC=8，问：在BC边上是否能找到一个点P，使PA⊥PD？如果存在就求出BP的长；如果不存在，请说明理由．如果长度改变，AB=2，BC=4，结果又如何？

解：①在矩形ABCD中，当AB=2，BC=8时，在BC边上能找到一个点P，使PA⊥PD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=2．
又∵PA⊥PD，
∴∠BPA+∠A=∠BPA+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴

AB

PC

=

BP

CD

，

2

8-BP

=

BP

2

，
解得，BP=4±2

3

；

②在矩形ABCD中，当AB=2，BC=4时，在BC边上能找到一个点P，使PA⊥PD．
同理，得△ABP∽△PCD，则

AB

PC

=

BP

CD

，
∵PC=BC-BP=4-BP，
∴

2

4-BP

=

BP

2

，
解得，BP=2．
解：①在矩形ABCD中，当AB=2，BC=8时，在BC边上能找到一个点P，使PA⊥PD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=2．
又∵PA⊥PD，
∴∠BPA+∠A=∠BPA+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴

AB

PC

=

BP

CD

，

2

8-BP

=

BP

2

，
解得，BP=4±2

3

；

②在矩形ABCD中，当AB=2，BC=4时，在BC边上能找到一个点P，使PA⊥PD．
同理，得△ABP∽△PCD，则

AB

PC

=

BP

CD

，
∵PC=BC-BP=4-BP，
∴

2

4-BP

=

BP

2

，
解得，BP=2．