试题

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，过点D作线段DF被BC垂直平分，点E为垂足．连接BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）在DE²=BE·CE时，四边形ABFC是矩形．请说明理由．

证明：（1）∵BC垂直平分DF，
∴CD=CF，
∴∠DCE=∠FCE，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCE，AB=CF，
∴∠ABC=∠FCE，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵BC垂直平分DF，
∴DE=EF，∠BEF=∠FEC=90°，
∵DE²=BE·CE，
∴EF²=BE·CE，
∴

EF

CE

=

BE

EF

，
∴△BEF∽△FEC，
∴∠EBF=∠EFC，
∵∠EBF+∠BFE=90°，
∴∠EFC+∠BFE=90°，
即∠BFC=90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形．
证明：（1）∵BC垂直平分DF，
∴CD=CF，
∴∠DCE=∠FCE，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠DCE，AB=CF，
∴∠ABC=∠FCE，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵BC垂直平分DF，
∴DE=EF，∠BEF=∠FEC=90°，
∵DE²=BE·CE，
∴EF²=BE·CE，
∴

EF

CE

=

BE

EF

，
∴△BEF∽△FEC，
∴∠EBF=∠EFC，
∵∠EBF+∠BFE=90°，
∴∠EFC+∠BFE=90°，
即∠BFC=90°，
∵四边形ABFC是平行四边形，
∴四边形ABFC是矩形．