试题

已知关于x的方程x²+4x+3k-1=0的两实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数y=

1+5k

x

的图象的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小．求满足上述条件的k的整数值．

解：由题意，方程x²+4x+3k-1=0有实根，故△=16-4（3k-1）≥0，
解得k≤

5

3

，
设方程两根为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-4，x₁x₂=3k-1．
∵x₁²+x₂²≥x₁x₂．即：（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，
即（-4）²-3（3k-1）≥0，
解得k≤

19

9

．
又由比例函数y=

1+5k

x

，当x＞0或x＜0时，y随x增大而减小，可知：1+5k＞0，即k＞-

1

5

，
所以k的取值范围为：

5

3

≥k＞-

1

5

，
所以满足题中条件的k可取整数0和1．
解：由题意，方程x²+4x+3k-1=0有实根，故△=16-4（3k-1）≥0，
解得k≤

5

3

，
设方程两根为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-4，x₁x₂=3k-1．
∵x₁²+x₂²≥x₁x₂．即：（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，
即（-4）²-3（3k-1）≥0，
解得k≤

19

9

．
又由比例函数y=

1+5k

x

，当x＞0或x＜0时，y随x增大而减小，可知：1+5k＞0，即k＞-

1

5

，
所以k的取值范围为：

5

3

≥k＞-

1

5

，
所以满足题中条件的k可取整数0和1．