试题

如图所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．

证明：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，
∵A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．
∴A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，
∴四边形A′B′C′D′是平行四边形．
由于四边形ABCD是矩形，四边形PCBQ是平行四边形，
∴AB⊥BC，BC∥PQ．
从而AB⊥PQ，
∴A′B′⊥B′C′，
∴四边形A′B′C′D′是矩形，
∴A′C′=B′D′．
证明：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，
∵A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四条线段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位线．
∴A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，
∴四边形A′B′C′D′是平行四边形．
由于四边形ABCD是矩形，四边形PCBQ是平行四边形，
∴AB⊥BC，BC∥PQ．
从而AB⊥PQ，
∴A′B′⊥B′C′，
∴四边形A′B′C′D′是矩形，
∴A′C′=B′D′．