试题

已知如图：平行四边形ABCD中，各角的平分线相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵BH、CH、DF、AF分别平分∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB，
∴∠HBC=∠ABE=

1

2

∠ABC，∠BCH=∠DCH=

1

2

∠BCD，∠CDG=∠ADG=

1

2

∠ADC，∠DAE=∠BAE=

1

2

∠DAB，
∴∠HBC+∠HCB=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=90°，
同理∠DCH+∠CDG=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠H=180°-（∠HBC+∠HCB）=90°，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=90°，∠HGF=∠DGC=180°-（∠CDG+∠DCG）=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵BH、CH、DF、AF分别平分∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB，
∴∠HBC=∠ABE=

1

2

∠ABC，∠BCH=∠DCH=

1

2

∠BCD，∠CDG=∠ADG=

1

2

∠ADC，∠DAE=∠BAE=

1

2

∠DAB，
∴∠HBC+∠HCB=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=90°，
同理∠DCH+∠CDG=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠H=180°-（∠HBC+∠HCB）=90°，∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=90°，∠HGF=∠DGC=180°-（∠CDG+∠DCG）=90°，
∴四边形EFGH是矩形．