试题

从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．
甲题：若关于x的一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设t=

α+β

k

，求t的最小值．
乙题：如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

甲题：解：（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根α、β
∴△≥0，即4（2-k）²-4（k²⁺12）≥0，
解得k≤-2；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
t=

α+β

k

=

4-2k

k

=

4

k

-2，
∵k≤-2，
∴-4≤t＜0，
答：t的最小值为-4；               
乙题：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
证明：
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∵CF平分∠ACQ，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=OF，
同理OE=OC，
∴OE=OF，
∵AO=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCA，∠1=∠2=

1

2

∠ACQ，
∴∠BCE=∠ECA=

1

2

∠BCA，
∴∠ECF=

1

2

（∠BCA+∠ACQ）=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
甲题：解：（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根α、β
∴△≥0，即4（2-k）²-4（k²⁺12）≥0，
解得k≤-2；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
t=

α+β

k

=

4-2k

k

=

4

k

-2，
∵k≤-2，
∴-4≤t＜0，
答：t的最小值为-4；               
乙题：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
证明：
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∵CF平分∠ACQ，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=OF，
同理OE=OC，
∴OE=OF，
∵AO=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCA，∠1=∠2=

1

2

∠ACQ，
∴∠BCE=∠ECA=

1

2

∠BCA，
∴∠ECF=

1

2

（∠BCA+∠ACQ）=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．