试题

（2009·哈尔滨）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是；
（3）在（2）的条件下，若AG=5

2

，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG=

3

2

，求线段PQ的长．

证明：
（1）∵∠ADB=90°∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；

解：（2）FG-DC=AD；

（3）如图，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG
∴AG=5

2

，FG²+AF²=AG²，
∴FG=AF=5
∵DC=3由（2）知FG-DC=AD，
∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC为等腰直角三角形
∴FC=

DF2+DC2

=3

2

，
分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K，
∴四边形DFHB为矩形，
∴HF=BD=2  BH=DF=3，
∴BH=HG=3，
∴BG=

BH2+HG2

=3

2

∵sin∠G=

NK

NG

，
∴NK=

3

2

×

2

2

=

3 2

4

，
∴BK=

9 2

4

∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK
∴

MH

NK

=

BH

BK

，
∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC=PF=

1

2

FC=

3 2

2

，
∵∠BQC=∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴

BC

NF

=

CQ

FQ

，
∴

CQ

FQ

=

1

5- 3 2

=

2

7

，
∴CQ=

2

9

FC=

2

9

×3

2

=

2 2

3

，
∴PQ=CP-CQ=

3 2

2

-

2 2

3

=

5 2

6

．