试题

题目：
青果学院（2012·朝阳区二模）如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点F处，连接DF，CF与AD相交于点E，求DE的长和△ACE的面积．
答案
青果学院解：由题意，得FC=BC=4，AF=AB=3，∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴AE=CE，
∴AD-AE=CF-CE，
即DE=FE．
设DE=x，则FE=x，CE=4-x，
在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2．
即x2+32=（4-x）2，
解得：x=
7
8
．
即DE=
7
8
，
则AE=AD-DE=
25
8
，
则S△ACE=
1
2
AE·CD=
75
16
．
青果学院解：由题意，得FC=BC=4，AF=AB=3，∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴AE=CE，
∴AD-AE=CF-CE，
即DE=FE．
设DE=x，则FE=x，CE=4-x，
在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2．
即x2+32=（4-x）2，
解得：x=
7
8
．
即DE=
7
8
，
则AE=AD-DE=
25
8
，
则S△ACE=
1
2
AE·CD=
75
16
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
由题意，得FC=BC=4，AF=AB=3，∠1=∠2，又由四边形ABCD是矩形，易得△AEC是等腰三角形：DE=FE，然后设DE=x，则FE=x，CE=4-x，在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2，即可得方程x2+32=（4-x）2，解此方程即可求得DE的长，继而求得△ACE的面积．
此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
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