试题

已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+

1

4

m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根；
（2）当矩形的对角线长为

5

时，求m的值．

解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+

1

4

m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）²-4（

1

4

m²+1）≥0，解得m≥

3

2

，
a+b=m+1＞0，ab=

1

4

m²+1＞0，解得m＞-1，
∴m≥

3

2

时，方程有两个正实数根；
（2）∵矩形的对角线长为

5

，
∴a²+b²=（

5

）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∴（m+1）²-2（

1

4

m²+1）=5，
即m²+4m-12=0，
解得m₁=2，m₂=-6，
∵m≥

3

2

，
∴m=2，
所以当矩形的对角线长为

5

时，m的值为2．
解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+

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4

m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）²-4（

1

4

m²+1）≥0，解得m≥

3

2

，
a+b=m+1＞0，ab=

1

4

m²+1＞0，解得m＞-1，
∴m≥

3

2

时，方程有两个正实数根；
（2）∵矩形的对角线长为

5

，
∴a²+b²=（

5

）²，
∴（a+b）²-2ab=5，
∴（m+1）²-2（

1

4

m²+1）=5，
即m²+4m-12=0，
解得m₁=2，m₂=-6，
∵m≥

3

2

，
∴m=2，
所以当矩形的对角线长为

5

时，m的值为2．