试题

题目：
青果学院（2012·泰州一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P为BC上的动点，当CP=
8
3
8
3
时，△APE的周长最小．
答案
8
3

青果学院解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°=∠ABC，AB=CD=4，BC=AD=8，
∵E为CD中点，
∴DE=CE=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=
82+22
=2
17
，
即△APE的边AE的长一定，
要△APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，
延长AB到M，使BM=AB=4，则A和M关于BC对称，
连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，
AP+PE=EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ECP∽△MBP，
∴
CE
BM
=
CP
BP
，
∴
2
4
=
CP
8-CP
，
解得：CP=
8
3
，
故答案为：
8
3
．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；矩形的性质．
延长AB到M，使BM=AB，则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩形性质得出AB∥CD，推出△ECP∽△MBP，得出比例式，代入即可求出CP长．
本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，关键是找出符合条件的P点的位置，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
压轴题．
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