试题

如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，AF平分∠BAD交EC的延长线于点F，
（1）求作点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）求证：CA=CF．

解：（1）作图如图所示：

（2）证明：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．
在Rt△BCD中，∵CE⊥BD，
∴∠DCE=∠DBC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△DCB≌△CDA，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠FCH=∠CAD，①
又∵AG平分∠BAD=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
从而易证△HCG也是等腰直角三角形，
∴∠CHG=45°．
∵∠CHG是△CHF的外角，
∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
∴∠CFH=45°-∠FCH．②
由①，②可知∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，
∴CA=CF．
解：（1）作图如图所示：

（2）证明：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．
在Rt△BCD中，∵CE⊥BD，
∴∠DCE=∠DBC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△DCB≌△CDA，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠FCH=∠CAD，①
又∵AG平分∠BAD=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
从而易证△HCG也是等腰直角三角形，
∴∠CHG=45°．
∵∠CHG是△CHF的外角，
∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
∴∠CFH=45°-∠FCH．②
由①，②可知∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，
∴CA=CF．