试题

如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE和CF交AD于E、F，BE和CF相交于点G．
（1）求证：AF=DE；
（2）在题目条件的基础上再添加一个条件，使△GEF为等腰直角三角形，并加以证明．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE．
（2）添加，∠ABC=∠BCD．
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠FEG=∠EFG，
∴GF=GE，
又∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠FEG+∠EFG=90°，
∴△GEF是等腰直角三角形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE．
（2）添加，∠ABC=∠BCD．
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠FEG=∠EFG，
∴GF=GE，
又∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠FEG+∠EFG=90°，
∴△GEF是等腰直角三角形．