试题

题目：
青果学院如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，∠BAD的角平分线AE与边BC交于点E，且BE：EC=4：3，连接DE．
（1）试求DE的长度．
（2）若要使∠AED=90°，则此时矩形的另一边长为多少．
答案
（1）证明：∵AE平分∠BAD
∴∠1=∠2，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC青果学院
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=DC=4，
∵BE：EC=4：3
∴EC=3，
在Rt△DCE中，∠C=90°，DE=
32+42
=5；

（2）要使∠AED=90°则
在Rt△ABE中，∠B=90°，AE2=42+42=32
∵AD=BC=BE+EC=4+3=7
∴AD2=49，
∵AE2+DE2=57≠AD2，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=90°不存在．
（1）证明：∵AE平分∠BAD
∴∠1=∠2，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC青果学院
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BE=AB=DC=4，
∵BE：EC=4：3
∴EC=3，
在Rt△DCE中，∠C=90°，DE=
32+42
=5；

（2）要使∠AED=90°则
在Rt△ABE中，∠B=90°，AE2=42+42=32
∵AD=BC=BE+EC=4+3=7
∴AD2=49，
∵AE2+DE2=57≠AD2，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=90°不存在．
考点梳理
矩形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
（1）由已知条件证明BE=AB=DC=4，因为BE：EC=4：3，所以可求出EC=3，利用勾股定理即可求出DE的长；
（2）要使∠AED=90°，则AE2+DE2=AD2，由（1）中的数据可知AE2+DE2≠AD2，所以∠AED=90°，不存在．
本题考查了勾股定理的运用以及逆定理的运用、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质，题目的综合性较强．
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