试题

题目：
青果学院如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F，G，H分别在AB、BC、CD、AD上，若∠1=∠2=∠3=∠4，则四边形EFGH的周长是（　　）



答案
C
解：∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠HEF=180°-∠3-∠4，∠FGH=180°-∠1-∠2，
∴∠HEF=∠FGH，
又∵∠EFG=180°-（90°-∠4）-（90°-∠2）=∠2+∠4，
∠EHG=180°-（90°-∠3）-（90°-∠1）=∠1+∠2，
∴∠EFG=∠EHG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
易得△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，
∴HD=BF，BE=DG，
∵∠3=∠4，∠A=∠B=90°，
∴△AEH∽△BEF，
∴
AE
BE
=
AH
BF
，
即
AE
3-AE
=
AH
4-AH
，
整理得，
AE
AH
=
3
4
，
设AE、AH分别为3k、4k，在Rt△AEH中，EH=
AE2+AH2
=
(3k)2+(4k)2
=5k，
在Rt△BEF中，EF=
BE2+BF2
=
(3-3k)2+(4-4k)2
=5（1-k），
∴EF+EH=5（1-k）+5k=5，
四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2×5=10．
故选C．
考点梳理
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
先求出∠HEF=∠FGH，再求出∠EFG=∠EHG，然后判定四边形EFGH是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=HG，FG=EH，然后得到△BEF和△DGH全等，△AEH和△CGF全等，根据全等三角形对应边相等可得HD=BF，BE=DG，再根据△AEH和△BEF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出
AE
AH
=
3
4
，设AE、AH分别为3k、4k，根据勾股定理求出EH，再表示出BE、BF，根据勾股定理表示出EF，然后EF+EH正好消掉k，再根据平行四边形的周长公式列式进行计算即可得解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及平行四边形的判定与性质，求出
AE
AH
=
3
4
是解题的关键，也是本题的难点．
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