试题

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=9S₂，则CD=（　　）
A．2.5AB
B．3AB
C．3.5AB
D．4AB

D
解：如图，作AO∥BC交DC于O点，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，
∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，
∵以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，
∴S₁=

1

2

AM×MD=

1

2

AM²，
根据勾股定理得：AM²+MD²=AD²，
∵AM=MD，
∴2AM²=AD²，
∴S₁=

AD2

4

，
同理：∵S₂=AN²·

1

2

，2AN²=AB²，∴S₂=

AB2

4

，
同理：∵S₃=BP²·

1

2

，2BP²=BC²，∴S₃=

BC2

4

，
∵S₁+S₃=9S₂
∴

AD2+BC2

2

=

9AB2

2

，
∴（DC-AB）²=9AB²
∴（DO-3AB）（DO+3AB）=0，
∴DO=3AB，DO=-2AB（不合题意，舍去），
∴CD=DO+OC=3AB+AB=4AB．
故选D．