试题

如图，已知直线y₁=2x-3与y₂=-x+3，在平面直角坐标系中相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）连接0P，作PA⊥x轴，垂足为A，将△OPA绕点A顺时针旋转90°，得△O′P′A．求直线O′P′的函数关系式；
（3）在直线O′P′上是否存在点Q，使△QOP′与△OPA相似？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）联立两解析式可得：

y=2x-3 y=-x+3

，
解得：

x=2 y=1

，即点P的坐标为（2，1）．

（2）由（1）可得，点O'坐标为（2，2），点P'坐标为（3，0），
设O'P'的解析式为y=kx+b，则

2k+b=2 3k+b=0

，
解得：

k=-2 b=6

，
即直线O′P′的函数关系式为y=-2x+6．

（3）存在．
延长P'Q'与y轴交点为点Q₁，延长OP交O'P'与点Q₂，如图所示：

∵∠POA+∠OPA=90°，∠POA+∠OP'O'=90°，
∴∠OPA=∠QP'O'，
①当点Q在Q₁位置时，此时△OPA∽△Q₁OP'，
故可得

OA

OQ1

=

AP

OP′

，即

2

OQ1

=

1

3

，
解得：OQ₁=6，即可得点Q₁的坐标为（0，6）．
②当Q在点Q₂位置时，此时△OPA∽△OP'Q₂，
直线OP的解析式可求出为y=

1

2

x，联立O'P'解析式与直线OP解析式可得：

y= 1 2 x y=-2x+6

，
解得：

x= 12 5 y= 6 5

，
即点Q₂的坐标为（

12

5

，

6

5

）．
综上可得点Q的坐标为（0，6）或（

12

5

，

6

5

）．
解：（1）联立两解析式可得：

y=2x-3 y=-x+3

，
解得：

x=2 y=1

，即点P的坐标为（2，1）．

（2）由（1）可得，点O'坐标为（2，2），点P'坐标为（3，0），
设O'P'的解析式为y=kx+b，则

2k+b=2 3k+b=0

，
解得：

k=-2 b=6

，
即直线O′P′的函数关系式为y=-2x+6．

（3）存在．
延长P'Q'与y轴交点为点Q₁，延长OP交O'P'与点Q₂，如图所示：

∵∠POA+∠OPA=90°，∠POA+∠OP'O'=90°，
∴∠OPA=∠QP'O'，
①当点Q在Q₁位置时，此时△OPA∽△Q₁OP'，
故可得

OA

OQ1

=

AP

OP′

，即

2

OQ1

=

1

3

，
解得：OQ₁=6，即可得点Q₁的坐标为（0，6）．
②当Q在点Q₂位置时，此时△OPA∽△OP'Q₂，
直线OP的解析式可求出为y=

1

2

x，联立O'P'解析式与直线OP解析式可得：

y= 1 2 x y=-2x+6

，
解得：

x= 12 5 y= 6 5

，
即点Q₂的坐标为（

12

5

，

6

5

）．
综上可得点Q的坐标为（0，6）或（

12

5

，

6

5

）．