试题

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-

1

2

x+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B，过点A作x轴的垂线交直线y=x于点D，C点坐标（m，0），连接CD．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）连接BC交OD于点H（如图2），求证：DH=

3

2

BC；
（3）若m=2，E为射线AD上的一点，且AE=BE，F为EB延长线上的一点，连FA，作∠FAN交y轴于点N，且∠FAN=∠FBO（如图3），当点F在EB的延长线上运动时，NB-FB的值是否发生变化？若不变，请求出NB-FB的值；若变化，请求出其变化范围．

（1）证明：当x=0时，y=m，
当y=0时，-

1

2

x+m=0，解得x=2m，
∴点A、B的坐标是A（2m，0），B（0，m），
∴OA=2m，OB=m，
∵C点坐标（m，0），
∴OC=m，AC=2m-m=m，
∴AC=OB，
∵D点在直线y=x，
∴OA=AD=2m，
又AD⊥x轴，
∴∠DAC=∠AOB=90°，
在△AOB与△DAC中，

AC=OB ∠DAC=∠AOB=90° OA=AD

，
∴△AOB≌△DAC（SAS），
∴∠ABO=∠DCA，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO+∠DCA=90°，
∴CD⊥AB；

（2）证明：根据（1）的结论，OC=OB=m，
∴BC=

OB2+OC2

=

m2+m2

=

2

m，
∵OA=AD=2m，
∴∠AOD=45°，
∴OH=OCsin45°=

2

2

m，OD=OC÷cos45°=2

2

m，
∴DH=OD-OH=2

2

m-

2

2

m=

3 2

2

m，
∴

DH

BC

=

3 2 2 m

2 m

=

3

2

，
∴DH=

3

2

BC；

（3）解：如图，取OC=OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC=∠ACB，AB=AC，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵E为射线AD上的一点，
∴AE∥y轴，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠ACB=∠EBA，
∴180°-∠EBA=180°-∠ACB，
即∠ABF=∠ACN，
∵∠FAN=∠FBO，
∴∠AFB=∠ANC，
在△ABF与△ACN中，

∠ABF=∠ACN ∠AFB=∠ANC AB=AC

，
∴△ABF≌△ACN（AAS），
∴BF=CN，
∴NB-FB=NB-CN=BC=2OB，
∵OB=m，m=2，
∴NB-FB=2×2=4（是定值），
即当点F在EB的延长线上运动时，NB-FB的值不会发生变化．
（1）证明：当x=0时，y=m，
当y=0时，-

1

2

x+m=0，解得x=2m，
∴点A、B的坐标是A（2m，0），B（0，m），
∴OA=2m，OB=m，
∵C点坐标（m，0），
∴OC=m，AC=2m-m=m，
∴AC=OB，
∵D点在直线y=x，
∴OA=AD=2m，
又AD⊥x轴，
∴∠DAC=∠AOB=90°，
在△AOB与△DAC中，

AC=OB ∠DAC=∠AOB=90° OA=AD

，
∴△AOB≌△DAC（SAS），
∴∠ABO=∠DCA，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO+∠DCA=90°，
∴CD⊥AB；

（2）证明：根据（1）的结论，OC=OB=m，
∴BC=

OB2+OC2

=

m2+m2

=

2

m，
∵OA=AD=2m，
∴∠AOD=45°，
∴OH=OCsin45°=

2

2

m，OD=OC÷cos45°=2

2

m，
∴DH=OD-OH=2

2

m-

2

2

m=

3 2

2

m，
∴

DH

BC

=

3 2 2 m

2 m

=

3

2

，
∴DH=

3

2

BC；

（3）解：如图，取OC=OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC=∠ACB，AB=AC，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵E为射线AD上的一点，
∴AE∥y轴，
∴∠EAB=∠ABC，
∴∠ACB=∠EBA，
∴180°-∠EBA=180°-∠ACB，
即∠ABF=∠ACN，
∵∠FAN=∠FBO，
∴∠AFB=∠ANC，
在△ABF与△ACN中，

∠ABF=∠ACN ∠AFB=∠ANC AB=AC

，
∴△ABF≌△ACN（AAS），
∴BF=CN，
∴NB-FB=NB-CN=BC=2OB，
∵OB=m，m=2，
∴NB-FB=2×2=4（是定值），
即当点F在EB的延长线上运动时，NB-FB的值不会发生变化．