试题

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

解：（1）过点C作CE⊥OA于E，过点B作BF⊥OA于F，
∵CB∥OA，
∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，
∴四边形CEFB是矩形，
∴EF=BC=6，BF=CE，
∵∠COA=45°，
∴CE=OE=OC·sin∠COE=4×

2

2

=2

2

，
∵四边形OABC是等腰梯形，
∴∠BAO=∠COA=45°，
同理可得：BF=AF=2

2

，
∴OA=OE+EF+AF=6+4

2

，
∴S_梯形OABC=

1

2

（BC+OA）·CE=

1

2

×（6+6+4

2

）×2

2

=12

2

+8；

（2）∵直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分，
∴S_△OPC=

1

2

S_梯形OABC=6

2

+4，
∵S_△OPC=

1

2

OP·CE，
∴

1

2

×OP×2

2

=6

2

+4，
∴OP=6+2

2

，
∴点P（6+2

2

，0），
∵点C（2

2

，2

2

），
设直线CP的解析式为：y=kx+b，
则

(6+2 2 )k+b=0 2 2 k+b=2 2

，
解得：

k=- 2 3 b=2 2 + 4 3

，
∴直线CP的解析式为：y=-

2

3

x+2

2

+

4

3

；

（3）①当P在OA上时，
若OP=OC时，OP=4，即点P的坐标为（4，0）；
若OC=CP时，则OE=PE=2

2

，
即OP=4

2

，点P的坐标为（4

2

，0）；
若CP=OP时，
∵∠COA=45°，
∴∠PCO=∠COA=45°，
∴∠OPC=90°，
∴OP=OC·cos∠COA=2

2

，
∴点P的坐标为（2

2

，0）；
②当P在AB上时，OP＞OB，PC＜AC，
∵OB=AC，
∴OP＞PC，
∵PC＞BC＞OC，
∴OP＞PC＞OC，
∴此时不存在点P使得△OCP是等腰三角形；
③当点P在CB上时，
若CP=OC，则点P的坐标为（2

2

+4，2

2

）．
∴点P的坐标为：（4，0），（4

2

，0），（2

2

，0），（2

2

+4，2

2

）．
解：（1）过点C作CE⊥OA于E，过点B作BF⊥OA于F，
∵CB∥OA，
∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，
∴四边形CEFB是矩形，
∴EF=BC=6，BF=CE，
∵∠COA=45°，
∴CE=OE=OC·sin∠COE=4×

2

2

=2

2

，
∵四边形OABC是等腰梯形，
∴∠BAO=∠COA=45°，
同理可得：BF=AF=2

2

，
∴OA=OE+EF+AF=6+4

2

，
∴S_梯形OABC=

1

2

（BC+OA）·CE=

1

2

×（6+6+4

2

）×2

2

=12

2

+8；

（2）∵直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分，
∴S_△OPC=

1

2

S_梯形OABC=6

2

+4，
∵S_△OPC=

1

2

OP·CE，
∴

1

2

×OP×2

2

=6

2

+4，
∴OP=6+2

2

，
∴点P（6+2

2

，0），
∵点C（2

2

，2

2

），
设直线CP的解析式为：y=kx+b，
则

(6+2 2 )k+b=0 2 2 k+b=2 2

，
解得：

k=- 2 3 b=2 2 + 4 3

，
∴直线CP的解析式为：y=-

2

3

x+2

2

+

4

3

；

（3）①当P在OA上时，
若OP=OC时，OP=4，即点P的坐标为（4，0）；
若OC=CP时，则OE=PE=2

2

，
即OP=4

2

，点P的坐标为（4

2

，0）；
若CP=OP时，
∵∠COA=45°，
∴∠PCO=∠COA=45°，
∴∠OPC=90°，
∴OP=OC·cos∠COA=2

2

，
∴点P的坐标为（2

2

，0）；
②当P在AB上时，OP＞OB，PC＜AC，
∵OB=AC，
∴OP＞PC，
∵PC＞BC＞OC，
∴OP＞PC＞OC，
∴此时不存在点P使得△OCP是等腰三角形；
③当点P在CB上时，
若CP=OC，则点P的坐标为（2

2

+4，2

2

）．
∴点P的坐标为：（4，0），（4

2

，0），（2

2

，0），（2

2

+4，2

2

）．