试题

已知直线y=-2x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC=2．
（1）点P在直线y=-2x-4上，△PAC是以AC为底的等腰三角形，
①求点P的坐标和直线CP的解析式；
②请利用以上的一次函数解析式，求不等式-x-2＞x+4的解集．
（2）若点M（x，y）是射线AB上的一个动点，在点M的运动过程中，试写出△BCM的面积S与x的函数关系式，并画出函数图象．

解：（1）∵一次函数y=-2x-4与x、y轴交于A、B两点，
∴令x=0求出y=-4；令y=0求出x=-2，
∴A（-2，0），B（0，-4），
∵AC=2，点C在x轴的负半轴上，
∴C（-4，0），
过P作PQ⊥x轴，
∵△PAC是以AC为底的等腰三角形，
∴Q为AC的中点，即P横坐标为-3，
将x=-3代入y=-2x-4中得：y=6-4=2，
∴P（-3，2），
设直线PC解析式为y=kx+b，
将P与C坐标代入得：

-4k+b=0 -3k+b=2

，
解得：

k=2 b=8

，
∴直线PC的解析式为y=2x+8；

（2）由-x-2＞x+4，可得-2x-4＞2x+8，
令y₁=-2x-4，y₂=2x+8，
当y₁＞y₂时，由图象可知x＜-3，
故不等式-x-2＞x+4的解集是x＜-3；

（3）当点M在线段AB上时，如图1所示，
S=S_△ABC-S_△ACM=

1

2

×2×4-

1

2

×2×（2x+4）=

1

2

×2×（4-2x-4）=-2x（-2≤x＜0）；  
当点M在线段AB的延长线上时，如图2所示，S=S_△ACM-S_△ABC=2x（x＞0），
综上，S=

-2x，(-2≤x＜0) 2x，(x＞0)

，
作出图象，如图所示：

解：（1）∵一次函数y=-2x-4与x、y轴交于A、B两点，
∴令x=0求出y=-4；令y=0求出x=-2，
∴A（-2，0），B（0，-4），
∵AC=2，点C在x轴的负半轴上，
∴C（-4，0），
过P作PQ⊥x轴，
∵△PAC是以AC为底的等腰三角形，
∴Q为AC的中点，即P横坐标为-3，
将x=-3代入y=-2x-4中得：y=6-4=2，
∴P（-3，2），
设直线PC解析式为y=kx+b，
将P与C坐标代入得：

-4k+b=0 -3k+b=2

，
解得：

k=2 b=8

，
∴直线PC的解析式为y=2x+8；

（2）由-x-2＞x+4，可得-2x-4＞2x+8，
令y₁=-2x-4，y₂=2x+8，
当y₁＞y₂时，由图象可知x＜-3，
故不等式-x-2＞x+4的解集是x＜-3；

（3）当点M在线段AB上时，如图1所示，
S=S_△ABC-S_△ACM=

1

2

×2×4-

1

2

×2×（2x+4）=

1

2

×2×（4-2x-4）=-2x（-2≤x＜0）；  
当点M在线段AB的延长线上时，如图2所示，S=S_△ACM-S_△ABC=2x（x＞0），
综上，S=

-2x，(-2≤x＜0) 2x，(x＞0)

，
作出图象，如图所示：