试题

已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
（3）如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．

解：（1）设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）得

0=4k+b 4=b

，
解之得

k=-1 b=4

，
∴直线l的函数表达式y=-x+4；

（2）P₁（0，4）、P₂（2，2）、P₃ (4-2

2

，2

2

)、P₄(4+2

2

，-2

2

)；

（3）∵O与B关于直线l对称，
∴连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值，
设DB所在直线为y=k₁x+b₁ （k₁≠0），经过点D（0，2）、B（4，4）

4=4k1+b1 2=b1

，
解得 

k1= 1 2 b1=2

∴直线DB为y=

1

2

x+2，
解方程组：

y=-x+4 y= 1 2 x+2

，得

x= 4 3 y= 8 3

，
∴点E的坐标为(

4

3

，

8

3

)．
解：（1）设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）得

0=4k+b 4=b

，
解之得

k=-1 b=4

，
∴直线l的函数表达式y=-x+4；

（2）P₁（0，4）、P₂（2，2）、P₃ (4-2

2

，2

2

)、P₄(4+2

2

，-2

2

)；

（3）∵O与B关于直线l对称，
∴连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值，
设DB所在直线为y=k₁x+b₁ （k₁≠0），经过点D（0，2）、B（4，4）

4=4k1+b1 2=b1

，
解得 

k1= 1 2 b1=2

∴直线DB为y=

1

2

x+2，
解方程组：

y=-x+4 y= 1 2 x+2

，得

x= 4 3 y= 8 3

，
∴点E的坐标为(

4

3

，

8

3

)．