如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，且B、C在O点两侧，OB=3，∠BAC=45°，A点坐标为（0，6），将Rt△BOA绕点O顺时针旋转90°，A、B的对...-青果题库-青果学院

题目：

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，且B、C在O点两侧，OB=3，∠BAC=45°，A点坐标为（0，6），将Rt△BOA绕点O顺时针旋转90°，A、B的对应点分别为D、M，连接AD．
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（1）求DM的解析式；
（2）动点P从点O出发，沿折线ODA方向以1个单位/秒的速度向终点A运动，设△PDM的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图2，F为AC上一点，CF=

10

4

，直线PF交AD于N，当t为何值时，∠NFA=∠ABO？

答案

解：（1）设直线CM的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：OD=OA=6，OM=OB=3，
则点M的坐标为：（0，3），点D的坐标为（6，0），
则

b=3

6k+b=0

，
解得：

k=-

1

2

b=3

，
故DM的解析式为：y=-

1

2

x+3；

（2）∵OA=OD=6，
∴AD=

OA2+OD2

=6

2

，
∴如图1，当0≤t≤6时，S_△PDM=

1

2

PD·OM，
∵OM=3，OP=t，
∴PD=OD-OP=6-t，
∴S_△PDM=

1

2

×3×（6-t）=-

3

2

t+9；

如图2，当6＜t≤6+6

2

时，S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴PE∥OD，
∴△APE∽△ADO，
∴PE：OD=AP：AD，
∵AP=6+6

2

-t，
∴

PE

6

=

6+6

2

-t

6

2

，
解得：PE=3

2

+6-

2

t，
∴S_△PDM=S_△ADM-S_△APM=

1

2

AM·OD-

1

2

AM·PE=

1

2

×3×6-

1

2

×3×（3

2

+6-

2

t）=

3

2

4

t-

9

2

；
∴S与t之间的函数关系式为：y=

-

3

2

t+9 (0≤t≤6)

3

2

4

t-

9

2

(6＜t≤6+6

2

)

；

（3）如图3，过点C作CH⊥AB于点H，
∵∠BAC=45°，
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∴CH=AH，
∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=

OA

OB

=2，
∴在Rt△BCH中，tan∠ABO=

CH

BH

=2，
∴CH=2BH，
∴AH=2BH，
∵AB=

OA2+OB2

=3

5

，
∴AH=2

5

，
∴AC=

2

AH=2

10

，
∴OC=

AC2-OA2

=2，
∵∠NFA=∠ABO，∠NFA=∠CFP，
∴∠CFP=∠ABO，
∵∠ACB=∠PCF（公共角），
∴△PCF∽△ACB，
∴

CF

BC

=

CP

AC

，
∵CP=OC-OP=2-t，BC=OB+OC=5，CF=

10

4

，
∴

10

4

5

=

2-t

2

10

，
解得：t=1．
故当t=1时，∠NFA=∠ABO．
解：（1）设直线CM的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：OD=OA=6，OM=OB=3，
则点M的坐标为：（0，3），点D的坐标为（6，0），
则

b=3