试题

已知直线m的解析式为y=-

3

3

x+4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，在坐标平面内有一点P（a，2），且△ABP的面积与△ABC的面积相等．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）求a的值．

解：（1）∵令y=0，则x=4

3

，
x=0，则y=4，
∴A（4

3

，0），B（0，4）；

（2）∵A（4

3

，0），B（0，4），
∴OA=4

3

，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

(4 3 )2+42

=8，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC=8，
∴S_△ABC=

1

2

AB·AC=

1

2

×8×8=32；


（3）∵点P（a，2），
∴点P在第一象限或第二象限，
当点P在第一象限时，如图1所示，
过点P作PD⊥x轴，此时OD=OA+AD=a，PD=2，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=

1

2

（2+4）×a-

1

2

×4×4

3

-

1

2

×2×（a-4

3

）=32，
解得a=16+2

3

；
当点P在第二象限时，如图2所示：
连接OP，过点P作PE⊥x轴，
此时AE=4

3

-a，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=

1

2

OB·OE+

1

2

OB·OA-

1

2

OA·PE=

1

2

×4×（-a）+

1

2

×4×4

3

-

1

2

×4

3

×2=32，
解得a=-16+2

3

．
综上所述a的值为a₁=16+2

3

，a₂=-16+2

3

．
解：（1）∵令y=0，则x=4

3

，
x=0，则y=4，
∴A（4

3

，0），B（0，4）；

（2）∵A（4

3

，0），B（0，4），
∴OA=4

3

，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

(4 3 )2+42

=8，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC=8，
∴S_△ABC=

1

2

AB·AC=

1

2

×8×8=32；


（3）∵点P（a，2），
∴点P在第一象限或第二象限，
当点P在第一象限时，如图1所示，
过点P作PD⊥x轴，此时OD=OA+AD=a，PD=2，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=

1

2

（2+4）×a-

1

2

×4×4

3

-

1

2

×2×（a-4

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）=32，
解得a=16+2

3

；
当点P在第二象限时，如图2所示：
连接OP，过点P作PE⊥x轴，
此时AE=4

3

-a，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=

1

2

OB·OE+

1

2

OB·OA-

1

2

OA·PE=

1

2

×4×（-a）+

1

2

×4×4

3

-

1

2

×4

3

×2=32，
解得a=-16+2

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．
综上所述a的值为a₁=16+2

3

，a₂=-16+2

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．